Основные операции с векторами. Вектор
Геометрическим вектором называют направленный отрезок. Для описания векторов используют обозначения ; .
Длиной вектора называют расстояние между начальной точкой и точкой конца вектора. Длину вектора будем обозначать , или просто АВ, а.
Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Такой вектор не имеет направления, его длина равна нулю, обозначают его как .
Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначают это как .
Векторы называют компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Два вектора называют равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.
Свободным называют вектор, который можно перемещать в пространстве параллельно его направлению.
Отметим, что для свободного вектора его начало можно совмещать с любой точкой пространства.
В дальнейшем будем иметь дело лишь со свободными векторами.
Линейные операции над векторами и их свойства
Линейными операциями над векторами являются сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммой двух геометрических векторов и называется вектор , который можно построить или по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
1.По правилу треугольника
Параллельным переносом совместим конец вектора с началом вектора . Тогда суммой + будем называть вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора .
2. По правилу параллелограмма
Параллельным переносом совместим начало вектора и начало вектора . Достроим параллелограмм на концах векторов. Суммой векторов и будем называть вектор , являющийся диагональю параллелограмма, начало которого совпадает с началом векторов и .
Свойства сложения векторов.
1. Коммутативность
2.Ассоциативность 
3.Существование нулевого вектора такого, что
4. Для любого вектора существует противоположный вектор ()такой, что
С помощью свойств сложения векторов также можно доказать, что для любых векторов и существует такой вектор , который, будучи сложен с , даст вектор .
Такой вектор называют геометрической разностью векторов и :
Произведением вектора на вещественное число называется вектор , имеющий длину, равную произведению чисел и направление, совпадающее с направлением вектора , если , и противоположное, если .
Свойства произведения вектора на число.
5. Ассоциативность сомножителей
6. Дистрибутивность суммы векторов относительно умножения на вещественное число
7. Дистрибутивность относительно суммы чисел 
8. Существование числа 1, не меняющего вектора при умножении
Все восемь свойств линейных операций получены из геометрических свойств векторов.
Можно поступить иначе. Положить эти восемь свойств в основу определения векторов.
Определение.
Любая совокупность объектов, для которых введено соотношение равенства, а также операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие свойствам 1-8, называется линейным векторным пространством.
Элементы такого пространства называют векторами или точками этого пространства.
Примеры линейных векторных пространств
1. Множество всех геометрических векторов.
2. Множество всех вещественных чисел. Обозначим его или .
3. Множество всевозможных пар вещественных чисел. Обозначим его .
Пусть = и = – элементы этого множества. Будем называть числа и координатами векторов и . Векторы и считаются равными, если равны их координаты, т.е. и
Суммой векторов и будем называть вектор , имеющий координаты и .
При таком введении линейных операций выполняются все свойства 1-8 и пространство можно считать линейным векторным пространством.
4. Множество всевозможных наборов из n вещественных чисел. Будем обозначать это множество . Элементами этого множества являются наборы из чисел.
10.Скалярное произведение векторов и его свойства
В качестве нелинейных операций над векторами рассмотрим скалярное произведение и векторное произведение, наиболее часто встречающиеся в приложениях.
Углом между двумя векторами будем называть угол, который не превосходит p.
Угол между векторами будем обозначать
Скалярным произведением двух геометрических векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
Если ,то ,т.к. ,
если ,то ,т.к. ,
если ,то ,т.к. .
а)Ортогональной проекцией вектора на направление, задаваемое вектором , будем называть число
б) Аналогично число = является ортогональной проекцией вектора на направление .
Из определения скалярного произведения следует, что
Следствие.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны (угол между ними равен ).
Свойства скалярного произведения.
Коммутативность
1) Ассоциативность
2) Дистрибутивность относительно суммы векторов
4) , если и , если
Свойства 1-4 доказываются исходя из геометрических свойств векторов.
Угол между векторами.
Зная длины векторов и их скалярное произведение можно найти угол между векторами. Действительно, т.к. 
, то
11. Векторное произведение и его свойства , вычисление через координаты
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор (обозначим его ), удовлетворяющий следующим условиям.
Определение: Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор , такой что
Свойства векторного произведения:
Утверждение 2: В декартовой системе координат (базис i , j , k ), a={x 1 , y 1 , z 1 }, b={x 2 , y 2 , z 2 }
=> [a
,b
] = 
= 
12. Смешанное произведение векторов.
Определение: Смешанным произведением
упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число
Утверждение:
Утверждение: В декартовой системе координат, если a={x 1 , y 1 , z 1 }, b={x 2 , y 2 , z 2 },
с={x 3
, y 3
, z 3
}, =>
Вектор - это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало - точка. Модуль вектора (абсолютная величина) - длина этого направленного отрезка.
Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.
Два вектора являются равными , если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.
На рисунке только вектор a равен вектору b . Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону
Вектор -c - это вектор c , но противоположного направления. Тогда
Проекция вектора
Проекция вектора на ось имеет положительное значение в том случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси. Отрицательное значение - в противоположном случае.
Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy . Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: s x =x-x 0 , на ось ОУ: s y =y-y 0 .
Рассмотрим примеры
Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.
Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е. 
Сложение векторов
Правило параллелограмма: диагональ параллелограмма - сумма двух векторов с общим началом.
Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Рассмотрим правила на примерах.
Вычитание векторов
Вычитание векторов - это сумма положительного и отрицательного вектора.
Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:
Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .
Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.
Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.
Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.
Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.
В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:
| (1) |
где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .
Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде
| (2) |
называется вектор-столбцом .
Число n
называется размерностью
(порядком
) вектора. Если 
то вектор называется нулевым вектором
(т.к. начальная точка вектора 
). Два вектора x
и y
равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.
Определение Упорядоченную совокупность (x 1 , x 2 , ... , x n) n вещественных чисел называют n-мерным вектором , а числа x i (i = ) - компонентами, или координатами,
Пример. Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.
Обозначения. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, a или . Два вектора называются равными , если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.
Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1)
и (2, 3, 5, 0, 1)
разные вектора.
Операции над векторами.
Произведением
x
= (x 1 , x 2 , ... ,x n) на действительное число
λ называется вектор
λ x
= (λ x 1 ,
λ x 2 , ... ,
λ x n).
Суммой x = (x 1 , x 2 , ... ,x n) и y = (y 1 , y 2 , ... ,y n) называется вектор x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).
Пространство векторов. N -мерное векторное пространство R n определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.
Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров ). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров
x = (x 1 , x 2 , ..., x n),
где через x i обозначается количество i-го блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров C = { x = (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = }.
Линейная независимость.
Система e
1 , e
2 , ... , e
m n-мерных векторов называется линейно зависимой
, если найдутся такие числа
λ 1
,
λ 2
, ... ,
λ m
, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство
λ 1
e
1 +
λ 2
e
2 +... +
λ m
e
m = 0; в противном случае данная система векторов называется линейно независимой
, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все 
. Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R
3 , интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.
Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны (параллельны).
Теорема 3 . Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны (лежали в одной плоскости).
Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой , если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка . Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Базис и координаты. Тройка e 1, e 2 , e 3 некомпланарных векторов в R 3 называется базисом , а сами векторы e 1, e 2 , e 3 - базисными . Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде
а = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)
числа x 1 , x 2 , x 3 в разложении (1.1) называются координатами a в базисе e 1, e 2 , e 3 и обозначаются a (x 1 , x 2 , x 3).
Ортонормированный базис. Если векторы e 1, e 2 , e 3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным , а координаты x 1 , x 2 , x 3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.
Будем предполагать, что в пространстве R 3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k }.
Векторное произведение. Векторным произведением а на вектор b называется вектор c , который определяется следующими тремя условиями:
1. Длина вектора c
численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a
и b,
т. е.
c
=
|a||b|
sin (a
^b
).
2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.
3. Векторы a, b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.
Для векторного произведения c
вводится обозначение c =
[ab
] или
c = a
× b.
Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b ) = 0 и [ab ] = 0, в частности, [aa ] = 0. Векторные произведения ортов: [ij ]= k, [jk ] = i , [ki ]= j .
Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a (a 1 , a 2 , a 3), b (b 1 , b 2 , b 3), то
Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов а и b скалярноумножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.
Если векторы a, b
и c
в базисе i, j, k
заданы своими координатами
a
(a 1 , a 2 , a 3), b
(b 1 , b 2 , b 3), c
(c 1 , c 2 , c 3), то
.
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка a, b, c - левая, то a b c <0 и V = - a b c , следовательно V = |a b c| .
Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом а о. Символом r =ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или |а| , | АВ| обозначаются модули векторов а и АВ.
Пример 1.2. Найдите угол между векторами a = 2m +4n и b = m-n , где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120 о.
Решение
. Имеем: cos
φ = ab
/ab, ab =
(2m
+4n
) (m-n
) = 2 m
2 - 4n
2 +2mn
=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a
2 = (2m
+4n
) (2m
+4n
) =
= 4 m
2 +16mn
+16 n
2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = . b = ; b
2 =
= (m-n
)(m-n
) = m
2 -2mn
+ n
2 =
1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = . Окончательно имеем: cos
φ = = -1/2,
φ = 120 o .
Пример 1.3. Зная векторы AB (-3,-2,6) и BC (-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.
Решение
. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
S = 1/2 BC AD. Тогда
AD=2S/BC, BC=
=
= 6,
S = 1/2|
AB ×
AC|
.
AC=AB+BC
, значит, вектор AC
имеет координаты
.
.
Пример 1.4 . Даны два вектора a (11,10,2) и b (4,0,3). Найдите единичный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой.
Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного правого ортонормированного базиса через x, y, z.
Поскольку c ⊥ a, c ⊥ b , то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется, чтобы c = 1 и a b c >0.
Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.
Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x 2 = 36/125, откуда
x =
±
. Используя условие a b c >
0, получим неравенство
С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = , y = - , z =- .
