Определение оптимального размера производимой партии. Оптимальная партия поставки, EOQ-модель Оптимальный размер партии определяют

07.10.2020

Является минимизация совокупных расходов на их покупку, доставку и складское хранение. При этом расходы на доставку и хранение демонстрируют разнонаправленное поведение. С одной стороны, увеличение партии поставки приводит к снижению расходов на доставку в расчете на единицу запасов, а, с другой стороны, это приводит к росту складских расходов на единицу запасов. Для решения этой задачи Уилсоном (англ. R. H. Wilson ) была разработана методика расчета оптимальной партии поставки (англ. Economic Order Quantity, EOQ ), известная также как или формула Уилсона .

Исходные положения EOQ-модели

Практическое применение EOQ-модели предполагает ряд ограничений, которые должны быть соблюдены при расчете оптимальной партии поставки:

1. Количество потребляемых запасов или закупаемых товаров заранее известно, а их потребление осуществляется равномерно в течение всего планируемого периода.

2. Стоимость организации заказа и стоимость одной единицы запасов остаются постоянными в течение всего планируемого периода.

3. Время поставки является фиксированным.

4. Замена отбракованных единиц осуществляется мгновенно.

5. Минимальный остаток запасов равен 0.

Расчет оптимальной партии поставки

В основе EOQ-модели лежит функция совокупных расходов (TC), которая отражает расходы на приобретение, доставку и хранение запасов.

p – цена покупки или себестоимость производства единицы запасов;

D – годовая потребность в запасах;

K – стоимость организации заказа (погрузка, разгрузка, упаковка, транспортные расходы);

Q – объем партии поставки.

H – стоимость хранения 1 единицы запасов в течение года (стоимость капитала, складские расходы, страховка и т.п.).

Решив полученное уравнение относительно переменной Q, мы получим оптимальную партию поставки (EOQ).

Графически это можно представить следующим образом:

Другими словами, оптимальная партия поставки представляет собой такой объем (Q), при котором значение функции совокупных расходов (TC) будет минимальным.

Пример . Годовая потребность компании по производству строительных материалов в цементе составляет 50000 т по цене 500 у.е. за тонну. При этом стоимость организации одной поставки составляет 350 у.е., а стоимость хранения 1 т цемента в течение года 2 у.е. В этом случае размер оптимальной партии поставки составит 2958 т.

В этом случае количество поставок за год составит 16,9 (50000/2958). Дробная часть 0,9 означает, что последняя 17-ая поставка будет выработана на 90%, а оставшиеся 10% перейдут остатком на следующий год.

Подставив оптимальную партию поставки в функцию совокупных расходов мы получим 25008874 у.е.

TC = 500*50000 + 50000*350/2958 + 2*2958/2 = 25008874 у.е.

При любом другом размере партии поставки сумма совокупных расходов будет выше. Например, для 3000 т она составит 25008833 у.е., а для 2900 т 25008934 у.е.

TC = 500*50000 + 50000*350/3000 + 2*3000/2 = 25008833 у.е.

TC = 500*50000 + 50000*350/2900 + 2*2900/2 = 25008934 у.е.

Графически потребление запасов можно представить следующим образом, при условии, что их остаток на начало года равен оптимальной партии поставки.

Учитывая исходные предположения EOQ-модели о равномерном потреблении запасов оптимальная партия поставки будет вырабатываться до нулевого остатка при условии, что в этот момент будет доставлена следующая партия.

Данной статьей мы открываем небольшую серию публикаций, посвященных определению оптимального размера партии деталей, запускаемых в производство. Очевидно, что эта величина сказывается на экономических показателях, поэтому для каждого производителя важно правильно ее определять. Мы хотим рассказать об истории данного вопроса, о применяемых методах и о последних тенденциях.

Как только любой товар производится в количестве больше одной штуки возникают выбор: или мы можем сначала полностью сделать все разнородные детали одного изделия и только потом приступить к следующему, или мы делаем одинаковые (или подобные) детали сразу для всех изделий. Второй способ дает множество преимуществ: специализация рабочих мест, рациональное использование техники, стабильность качества, повышение производительности .

При производстве небольшого количества товара число одинаковых деталей равно числу готовых изделий. С ростом объема выпуска затраты на производство, связанные с наладкой оборудования, установкой приспособлений, сменой инструмента падают. Но это происходит до определенного предела. Дальнейший рост приводит к возрастанию затрат на хранение исходных материалов, полуфабрикатов в цехах и готовой продукции, значительные средства замораживаются в незавершенной продукции.

Эта проблема становится заметной даже для небольшой кустарной мастерской: «Где разместить дополнительное сырье, куда складывать готовые товары до того, как их купили и вывезли, где взять дополнительные средства на покупку большего объема материала?» Но для крупного предприятия все гораздо серьезнее – дополнительные склады, буферные зоны, а это не только дополнительные площади, но и техника, люди, отопление, организация логистики, учета.

Выходом является разбиение общего количества деталей на отдельные партии. Производство продукции на основе партий запуска-выпуска называется партионным.

О том, сколько одинаковых деталей запускать в производство, стали задумываться практически сразу после перехода от ручного способа изготовления товаров к машинному. Развитие крупносерийного и массового поточного производства в начале 20 века стимулировало разработку теорий оптимизации размера партий деталей. В течение многих лет эти модели совершенствовались. В конце 20 – начале 21 века производство стало принципиально меняться, что потребовало также новых подходов к распределению продукции по производственным партиям.

Очевидно, что с ростом размера партии частота переналадок оборудования, смены оснастки и инструмента уменьшается, операций по подготовке производства, а значит затраты на переналадки падают. Одновременно растут затраты на складирование (хранение). График зависимости суммарных затрат от размера партии имеет точку минимума. Характер изменений издержек показан на рисунке.

Определение размера партии, соответствующего этому минимуму затрат, и является задачей оптимизации. Методы расчета данной точки были разработаны еще в начале 20 века, причем не без интриг.

Исторически первым предложил формулу расчета оптимальной партии американец Форд Уитмен Харрис (Ford W. Harris). В 1913 он опубликовал свои расчеты. Откровенно говоря, вывод формулы оптимального размера партии не представлял какого-то теоретического прорывы в математике. Это достаточно простая задачка поиска минимума функции. Ценно было практическое знание особенностей экономики производства. Харрис работал инженером на электротехнической фирме и использовал для своего анализа свой опыт. При этому он не имел диплома — окончил только среднюю школу. Будучи самоучкой он был феноменально успешным – он опубликовал 70 статей и зарегистрировал 50 патентов.

В течение следующих десятилетий появлялись публикации других авторов по теме оптимального размера партии в производстве. Так как эти исследования являлись прикладными, то традиции ссылаться на первоисточники, как это принято в фундаментальной науке, еще не было.

В 1934 году появляется новая публикация в Harvard Business Review, в которой автор R.H. Wilson (Уилсон или Вильсон) снова без ссылки на предыдущие работы приводит формулу оптимального размера партии. И по странному стечению обстоятельств именно его имя дало название формуле и закрепилось в дальнейшей истории. Некоторые исследователи считают, что здесь не обошлось без конкуренции различных изданий и бизнес-школ (Гарвардской и Чикагской), которые поддерживали только своих авторов. В результате приоритет Харриса был через некоторое время забыт. И только в 1990 году в США была предпринята попытка разобраться с приоритетом и датой первой публикации по данной теме.

Но пока американцы разбирались в том, кто же первый научился рассчитывать оптимальный размер партий, немцы, соглашаясь с первенством Харриса, утверждают, что по настоящему развил эту тему впервые в 1929 году их соотечественник – Курт Андлер (Kurt Andler) и называют соответствующую формулу его именем, при этом ни о каком Уилсоне не упоминают.

Формула Андлера для оптимального размера партии деталей в простейшем варианте выглядит следующим образом:

где у min — оптимальный размер партии,

V — требуемый объем продукции за период времени (скорость сбыта),

C r — затраты, связанные со сменой партий (условно — на наладку),

C l — удельные расходы на складирование в периоде времени.

Формула Уилсона для оптимальной партии заказа товара на склад (про продажи или для переработки) выглядит аналогично. Но ее составляющие имеют несколько иной смысл и другие обозначения (в классическом виде):

где EOQ — экономичный размер заказа (economic order quantity – EOQ)),

Q — количество товара в год (Quantity in annual units),

P — затраты на реализацию заказа (Placing an order cost),

C — затраты на складирование единицы товара в год (Carry costs) .

Кстати, американцы легко запоминают эту формулу с помощью мнемонической фразы: “The square root of two Q uarter P ounders with C heese.” Фразу легко перевести,

или — «корень квадратный из двух четвертьфунтовых с сыром». Здесь для россиян и вообще всех, кроме американцев требуется пояснение. «Четвертьфунтовым» американцы называют чизбургер из Макдональдса, вес которого традиционно составляет четверть фунта – 113,4 грамма.

За пределами США этот вид гамбургера имеет другие названия и в этой связи можно вспомнить знаменитый диалог двух киллеров Винсента и Джулса из фильма Тарантино «Криминальное чтиво». Один из бандитов в исполнении Траволты рассказывает о своей поездке в Европу, о том, что в Париже можно купить пиво в Макдональдсе и прочих «чудесах»:

— Знаешь как в Париже называют Quarter Pounder с сыром?

— А что они его называют не Quarter Pounder ?

— Нет, у них метрическая система, и они не знают, что такое … (опускаем ненормативную лексику) четверть фунта. Они называют его Роял Чизбургер.

— Роял Чизбургер??? А как они называют тогда Биг-Мак?

— Биг-Мак – это Биг-Мак, только они называют его Ле Биг-Мак.

— Ле Биг-Мак?! Ха-ха-ха…

Так что Винсент и Джулс могли бы с легкостью запомнить формулу оптимального объема товара и применять ее в своей деятельности.

В основу классической модели оптимальной партии Андлера-Уилсона положен целый ряд исходных допущений: производство без ограничений по мощностям, без промежуточных складов, спрос стабилен, возможность деления материалов на любой размер партий, затраты на склад постоянные, склад неограниченного объема, безграничный горизонт планирования, реализация товара происходит непосредственно после производства и т.д.

Каждое такое допущение является одновременно ограничением для применения модели в тех или иных конкретных условиях производства и могут служить основой для развития и усложнения модели.

Однако, результаты расчетов по простейшей классической формуле все-таки могут служить в качестве базовых величин для начальной оценки – точность оценки во многом зависит от того, как полно и точно мы учтем затраты связанные с запуском новой партии и затраты на хранение.

Мебельная промышленность в последнее время становится все более индивидуализированной, все чаще работа строится на основе заказов – если не от конечных клиентов, то от динамически пополняемого склада, выступающего практически в роли заказчика. В связи с этим тенденцией последнего десятилетия стала работа по принципу Losgrösse 1 – то есть размер партии от одной штуки. На этом мы остановимся подробнее в следующих статьях.

Запасы играют как положительную, так и отрицательную роль в деятельности логистической системы. Положительная роль заключается в том, что они обеспечивают непрерывность процессов производства и сбыта продукции, являясь своеобразным буфером, сглаживающим непредвиденные колебания спроса, нарушение сроков поставки ресурсов, повышают надежность логистического менеджмента .

Негативной стороной создания запасов является то, что в них иммобилизуются значительные финансовые средства, которые могли бы быть использованы предприятием на другие цели, например, инвестиции в новые технологии, исследование рынка, улучшение экономических показателей деятельности предприятия.

Кроме того, большие уровни запасов готовой продукции препятствуют улучшению ее качества, так как предприятие, прежде всего, заинтересовано в реализации уже имеющейся продукции до вложения инвестиций в повышении ее качества. Исходя из этого, возникает проблема обеспечения непрерывности логистических и технологических процессов при минимальном уровне затрат, связанных с формированием и управлением различными видами запасов в логистической системе.

Один из методов эффективного управления запасами - определение оптимальных партий поставок груза, который позволяет оптимизировать расходы на транспортировку, хранение груза, а также избежать избытка или недостатка груза на складе.

Оптимальный размер партии q определяется по критерию минимума затрат на транспортировку продукции и хранение запасов.

Величина суммарных затрат рассчитывается по формуле (3.1):

где n - количество партий, доставляемых за расчетный период

где - средняя величина запаса (в тоннах), которая определяется из предположения, что новая партия завозится после того, как предыдущая полностью израсходована.

В этом случае величина рассчитывается по следующей формуле:

Функция общих затрат С имеет минимум в точке, где ее первая производная по q равна нулю, т.е.

В качестве размеров годового объема потребления продукции принимаем данные, полученные в результате прогнозирования методом регрессионного анализа : тыс. т/год; тариф на перевозку одной партии у.е./т; расходы, связанные с хранением запаса у.е./т.

Подставив заданные значения, получим:

При этом общие затраты составят:

Решение данной задачи графическим способом заключается в построении графиков зависимости , и , предварительно выполнив необходимые расчеты по определению , и .

Определим значение , и при изменении q в пределах от 900 до 800 с шагом 1200. Результат расчетов занесем в таблицу 3.1.

Таблица 3.1.

Значения , и

Размер партии, q Затраты, у.е.
	6171,75	4937,4	4488,55	4114,5

	10171,75	9937,4	9988,55	10114,5

По данным таблицы 3.1 построены графики зависимости затрат (транспортных, складских и суммарных) от размера партии (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 Зависимость затрат от размера партии

Анализ графиков на рисунке 3.1 показывает, что затраты на транспортировку уменьшаются с увеличением размера партии, что связано с уменьшением количества рейсов. Затраты, связанные с хранением, возрастают прямо пропорционально размеру партии.

График суммарных затрат имеет минимум при значении q приблизительно равном 993 т, которое и является оптимальным значением размера партии поставки. Соответствующие минимальные суммарные затраты составляют 9937 у.е.

Произведем расчет оптимального размера партии в условиях дефицита при величине расходов, связанных с дефицитом

В условиях дефицита значение , рассчитанное по формуле (3.8) корректируется на коэффициент k , учитывающий расходы, связанные с дефицитом.

Величина расходов, связанных с дефицитом;

принимаем

Подставив значения, получим:

Из этого следует, что в условиях возможного дефицита размер оптимальной партии поставки необходимо увеличить на 15%.

Задача

Методика и решение

1. Оптимальный размер партии поставки q определяется по критерию минимума затрат на транспортировку продукции и хранение запасов.

Величина суммарных затрат рассчитывается по формуле (3.1):

где n - количество партий, доставляемых за расчетный период,

где q cp - средняя величина запаса (в тоннах), которая определяется из предположения, что новая партия завозится после того, как предыдущая полностью израсходована. В этом случае средняя величина рассчитывается по следующей формуле:

Функция общих затрат С имеет минимум в точке, где ее первая производная по q равна нулю, т.е.

Подставив заданные значения, получим:

При этом общие затраты составят:

руб

Решение данной задачи графическим способом заключается в построении графиков зависимости С тр (q ) , С хр (q ) и С(q ) ,предварительно выполнив необходимые расчеты по определению С тр , С хр и С .

Определим значения С тр , С хр и С при изменении q в пределах от 50 до 350 с шагом 50. Результаты расчетов занесем в табл.3.1.

Таблица 3.1

Значения С тр , С хр и С

Размер партии, q Затраты, руб
С тр
С хр
С

По данным табл.3.1 построены графики зависимости затрат на транспортировку, хранение и суммарных от размера партии (рис.3.1).

Зависимость затрат от размера партии

С тр ,С хр иС , руб

С хр

С тр

Рис.3.1

Анализ графиков на рис.3.1 показывает, что затраты на транспортировку уменьшаются с увеличением размера партии, что связано с уменьшением количества рейсов. Затраты, связанные с хранением, возрастают прямо пропорционально размеру партии.

График суммарных затрат имеет минимум при значении q приблизительно равном 200 т , которое и является оптимальным значением размера партии поставки. Соответствующие минимальные суммарные затраты составляют 400 руб .

2. В условиях дефицита значение q * , рассчитанное по формуле (3.8) корректируется на коэффициент k , учитывающий расходы, связанные с дефицитом.

;
т

Подставив значения, получим:

Из этого следует, что в условиях возможного дефицита размер оптимального значения партии при заданных данных необходимо увеличить на 29%.

Экономичный (оптимальный) размер партии дает возможность достичь уменьшения общих производственных затрат на выполнение годового задания по изготовлению всех наименований деталей, предусмотренных программой. Критерием оптимального размера партии, как правило, является минимум совокупных затрат на переналадку оборудования и на связывание средств в незавершенном производстве.

В качестве ограничений в зависимости от производственной ситуации должны учитываться и другие факторы:

стойкость специального инструмента, приспособления, штампа, выраженная через количество деталей (партию деталей следует уменьшать до стойкости инструмента, если смена инструмента по времени равнозначна переналадке оборудования или превышает предусмотренное в норме время на переналадку);
наличие свободных площадей для размещения партии деталей возле рабочих мест, на которых производится изготовление деталей (этот фактор учитывается, как правило, только для крупногабаритных деталей, которые размещаются у рабочих мест без тары);
дефицитность и материалоемкость детали, когда работа оптимальными партиями невозможна из-за угрозы нехватки дефицитного металла на изготовление других деталей, заданных в той же программе, что и рассматриваемая деталь;
сокращение цикла изготовления комплекта деталей (для этого достаточно подобрать такой размер партии деталей каждого наименования, чтобы средняя продолжительность выполнения технологических операций над этой партией деталей была бы близка средней занятости одного рабочего места при выполнении одной операции nt ср,

где п – искомый размер партии деталей, шт.; t cp – средняя продолжительность операции над одной деталью, ч; Фмес – месячный номинальный фонд работы участка, ч; Кз – среднее количество операций, которое ежемесячно закрепляется за одним рабочим местом, т.е. коэффициент закрепления операций.

Для расчета оптимального экономически целесообразного размера партии используется расчетно-аналитический метод. Все затраты на изготовление партии деталей можно разделить на две категории. Первая категория затрат остается постоянной при любом размере партии, а в пересчете на одну деталь снижается по мере увеличения размера партии. К этой категории относятся затраты, связанные с запуском партии деталей в производство (Сзап), в том числе затраты по переналадке оборудования, оформлению документации, планированию и учету производства, затраты на подготовительно-заключительные действия по каждой операции. Вторая категория затрат – это затраты на содержание и увеличение незавершенного производства.

Экономически целесообразный размер партии (n опт), минимизирующий удельную величину этих затрат и потерь, может быть исчислен по формуле

где C:зап – затраты по запуску партии деталей в обработку (затраты на наладку, оформление документации, включение партии в график запуска и выдачу нарядов исполнителям, учет движения партии в ходе обработки и т.п.), руб.; изг – затраты по изготовлению одной детали (материалы, заработная плата и другие затраты цеховой себестоимости), руб.; N – количество деталей, которые надо изготовить согласно программе на плановый период, шт.; η – коэффициент потерь от связывания средств в незавершенном производстве, равный норме прибыли на капитал или ставке рефинансирования Банка России.

Из-за необходимости в каждом конкретном случае учитывать ограничения и другие требования, накладываемые на оптимальный размер партии, при практических расчетах используется нормативный размер партии деталей, который устанавливается методом подбора: определяют минимально допустимый размер партии с точки зрения экономически целесообразного использования оборудования и корректируют его в сторону увеличения в зависимости от конкретных производственных условий.

Минимально допустимый размер партии деталей определяется двумя способами в зависимости от времени, необходимого на наладку оборудования, на котором обрабатываются данные детали. Если время на наладку составляет 20 мин и более, то минимальный размер партии деталей min определяется по ведущей операции, имеющей наибольшее отношение времени на наладку t пз к норме штучного времени t ш:

где α – допустимый удельный вес времени на наладку оборудования в продолжительности смены, исходя из оптимального размера партии.

Если время на наладку по всем операциям детали составляет менее 20 мин, то минимальный размер партии деталей определяется по наиболее производительной операции из всех операций, на которых обрабатывается рассматриваемая деталь:

Корректировка минимального размера партии деталей и доведение его до нормативного осуществляется с учетом реализации ряда требований.

где Фмес – месячный номинальный фонд времени работы участка, мин; t шс – норма штучного времени, приходящаяся в среднем на выполнение одной операции рассматриваемой детали; Пo – суммарное число различных операций, выполненных на участке за месяц; Р я – явочное число рабочих участка, работавших в рассматриваемый месяц.

Нормативный размер партии деталей пи должен быть не меньше n mjn и n пр, т.е.

Пример

Определим нормативный размер партии деталей при следующих исходных данных: n min = 66, п пр = 90, N дн = 10. Сначала определим расчетную (минимальную) периодичность запуска партий деталей R min = 66/10 = 6,6 дн., R πρ = 90/10 = 9 дн. Из табл. 3.4 берем ближайшую унифицированную периодичность R Y – 11 дней и определяем нормативный размер партии деталей:

Определение нормативного размера партий деталей нужно для решения следующих задач: регламентации периодичности переналадок оборудования и изготовления одноименных деталей в течение планового периода по отдельным производственным звеньям (участкам, цехам); определения нормативной длительности производственных циклов и календарных опережений в работе последовательных производственных звеньев; построения календарных планов, определяющих сроки запуска деталей в обработку, их выпуск и комплектование для обеспечения сборки; установления нормативного среднего уровня незавершенного производства и величины переходящих заделов на конец планового периода.

Статическое представление об экономически целесообразном размере партии не учитывает основных конкретных условий производства, от которых на самом деле зависит рациональный размер партии деталей. Такими условиями являются: количество наименований деталей, подлежащих изготовлению в данном плановом периоде, соответствие структуры и величины пропускной способности производственного подразделения суммарной трудоемкости и структуре трудоемкости производственной программы данного подразделения, количество операций над ведущей деталью или количество операций в типовом технологическом маршруте. То есть не учитываются условия организации производства и динамизм хода производственного процесса, когда партии деталей мешают друг другу, так как изготавливаются в одном плановом периоде и на одном производственном участке.